Ну, уж, это точно не "стакан". Не слыхал я, чтобы милиционер в подобном ящике прятался. В более ранние времена околоточные может и пережидали непогоду. Но те будочки были полосатыми.

Зачем милиционеру будка? В советское время парадные не запирались на замок. В случае необходимости милиционер всегда зайдёт в ближайший подъезд. А для регулировщика движения это строение слишком маловато и глуховато.

Думал я, что эти будочки стоят на линии водоснабжения и укрывают от пыли и мороза водоразборные колонки. Но против этой идеи - теснота сооружения. Только закрывает обслуживаемую зону, чем мешает слесарям. Проще колонки оставлять открытыми.

Общественный туалет на открытом пространстве в православной Руси тоже не могли сделать. Все "срамные" дела прятали за забор, на задворки.
Тем более, незачем ставить нужник на оживлённом перекрёстке.

Мне пришли в голову ещё кое-какие варианты. Если эти малые архитектурные формы имеют типичный вид и размер, то возможно принадлежали какой-то сетевой структуре. По примеру почтовых ящиков.

Что могли развозить или собирать по всей городской территории в 1930-е?

В качестве бреда, предположу - лёд. Холодильников не было. Для охлаждения продуктов в жаркое время использовали кусковой лёд. Могли развозить абонентам ...

Да мало ли ещё чего ...

Что могли периодически развозить по домовладениям? Песок, известь, дрова, уголь, ...

Гадать - дело неблагодарное. Но пока никто точно не знает, самое время погадать :)